Question

【题目】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为.

（1）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；

（2）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．

Answer 1

【答案】（1）曲线C的极坐标方程为；曲线D的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

（1）由曲线C的参数方程，利用三角函数的基本关系式，求得曲线C的普通方程，结合极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线C的极坐标方程和曲线D的直角坐标方程；

（2）根据题意，求得直线l的参数方程为为参数），代入曲线C的方程，结合一元二次方程根与系数的关系得，即可求解.

（1）由题意，曲线C的参数方程为为参数），即为参数）

平方相加，可得曲线C的普通方程为，

将代入曲线C的普通方程

可得曲线C的极坐标方程为，

又由曲线D的极坐标方程为，

所以，

又由

所以，

所以曲线C的极坐标方程为，

曲线D的直角坐标方程为.

（2）由点，则，即点A（2，2）．

因为直线l过点A（2，2）且倾斜角为，

所以直线l的参数方程为为参数），代入，

可得，

设M，N对应的参数分别为，

由一元二次方程根与系数的关系得，

所以.