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    【题目】某校举行了一次考试，从学生中随机选取了人的成绩作为样本进行统计.已知这些学生的成绩全部在分至分之间，现将成绩按如下方式分成组：第一组，第二组，.......，第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

    （1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；

    （2）从成绩大于等于分的学生中随机抽取人，求至少有名学生的成绩在内的概率.

    【答案】（1）平均分，众数；（2）

    【解析】

    （1）先利用频率和为，求得的频率，然后利用每组中点值作为代表，计算出平均数.众数是频率分布直方图最高的长方形的中点，故为.（2）分别计算出内的学生数，然后利用列举法求得至少有1名学生的成绩在内的概率.

    （1）成绩在内的频率为：

    平均分为

    众数的估计值是

    （2）成绩在的学生有人，记此人分别为，，，，

    成绩在内的学生有人，记此人分别为，，

    则从这人中任选人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个.

    记事件“在成绩大于等于分的学生中随机抽取人，至少有名学生的成绩在内”为事件，则事件包含的基本事件有，，，，，，，，共个.

    故事件发生的概率为

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    未感染病毒

    感染病毒

    总计

    未注射疫苗

    20

    注射疫苗

    30

    总计

    50

    50

    100

    现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.

    （1）求列联表中的数据，，，的值；

    （2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？

    附：.

    0.05

    0.01

    0.005

    0.001

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

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    （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

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    （1）求证：数列是等比数列；

    （2）求数列的通项公式；

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    （1）求与的值；

    （2）用五点法作函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；

    （3）叙述函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换而得到．

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    用五点法作出在一个周期的闭区间上的图象，首先要列表并分别令相位、、、、，再解出对应的、的值，得出坐标，然后描点，最后画出图象．而由函数的图象变到函数的图象主要有两种途径：①按物理量初相，周期，振幅的顺序变换；②按物理量周期，初相，振幅的顺序变换．要注意两者操作的区别，防止出错．

    经过张倩耐心而细致的解释，刘晓红豁然开朗，并对该题解答如下：

    （注意：解答第（3）问时，要按照题中要求，写出两种变换过程）

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    男

    女

    认为直播答题模式可持续

    180

    140

    认为直播答题模式不可持续

    120

    60

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    参考公式：

    临界值表：

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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