Question

如图，已知半径为1的⊙O₁与轴交于两点，为⊙O₁的切线，切点为，且在第一象限，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求切线的函数解析式；

（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）圆心的坐标为，⊙O₁半径为1，，……1分

二次函数的图象经过点，可得方程组  ……2分

解得：二次函数解析式为        ………………4分

（2）由题意易知所求直线的斜率存在且大于0，设切线为

由点到直线的距离，可得                   ………………6分

解得或（舍去）切线的函数解析式为…………8分

（3）存在．

①过点作轴，与交于点．可得

则由，解得          ………………11分

②过点作，垂足为， 可得

则由，解得           

符合条件的点坐标有，          ………………14分