Question

【题目】已知函数.

(1)讨论函数在区间上的单调性；

(2)已知函数，若，且函数在区间内有零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数： ，再根据导函数符号是否变化分类讨论：当时， ，当时， ，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）先求函数导数，因为，结合（1）结论得： ，因此， ， ,由于，所以恒成立，解， 得的取值范围.

试题解析：解：(1)由题得，所以.

当时， ，所以在上单调递增；

当时， ，所以在上单调递减；

当时，令，得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

综上所述，当时， 在上单调递增；

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，所以在上单调递减.

(2) ， ，

设为在区间内的一个零点，则由，可知在区间上不单调，则在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，所以在区间内至少有两个零点.

由(1)知，当时， 在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.

当时， 在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意，所以，

此时在区间上单调递减，在区间上单调递增.

因此， ， ，必有， .

由，得， .

又， ，解得.