Question

【题目】已知圆与圆相外切，且与直线相切．

（1）记圆心的轨迹为曲线，求的方程；

（2）过点的两条直线与曲线分别相交于点和，线段和的中点分别为.如果直线与的斜率之积等于1，求证：直线经过定点．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据抛物线定义可知圆心的轨迹为抛物线，进而可得其轨迹方程.

（2）由题意可设直线的斜率为，则直线的斜率为，表示出直线的方程，联立直线与抛物线方程即可求得交点的坐标，进而以代替点坐标中的，可得点的坐标；即可表示出直线的斜率及其方程，进而得所过定点的坐标.

（1）依题意等于到直线的距离，

故所求轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线.

故其轨迹的方程为.

（2）依题意直线斜率都存在且均不为，

故设直线的斜率为，则直线的斜率为.

直线的方程为，

即为.

由消去整理得，

所以，点的坐标为，

以代替点坐标中的，可得点的坐标为，

所以直线的斜率，

所以直线的方程为，

即.

故经过定点.