Question

（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，平面侧面。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ），证明见解析。

解析:

（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC侧面A₁ABB₁=A₁B，得

AD⊥平面A₁BC，又BC平面A₁BC，所以AD⊥BC。

因为三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，则AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC。

又AA₁AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，

又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC。

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，

是二面角A₁—BC—A的平面角，即

于是在中，在中，，

由，得，又，所以。

解法2：由（1）知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则，

于是，。

设平面的一个法向量为，则

由得

可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角。

所以，，

所以。

于是由，得，

即，又所以。

第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形。若用向量方法，关键在求法向量。