Question

17．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆（x-2）²+（y-3）²=1交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求k的取值范围：
（2）若x₁x₂+y₁y₂=12，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．

解答 解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得：k₁=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，k₂=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
故当$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，过点A（0，1）的直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
（2）设M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得 （1+k²）x²-4（k+1）x+7=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$•k²+k•$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$+1=$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}$，
由x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$+$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}$=12，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
∴|MN|=2．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．