Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC= ，点E在AD上，且AE=2ED． （Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°， ∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠ACD=45°，即AD=CD，
∴ ，
∵AE=2ED，CF=2FB，∴ ，
∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，
∴AC⊥EF，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，
∴EF⊥平面PAC，∵EF平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥AC，AC⊥AB，
∴AC⊥平面PAB，
则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角，
若PC与平面PAB所成夹角为45°，则 ，即 ，
取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则B（1，﹣1，0），C（1，1，0）， ， ，
∴ ， ，
设平面PBE的法向量 ，则 即
令y=3，则x=5， ，∴ ，
∵ 是平面PAB的一个法向量，
∴ ，
即当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为 时，直线PC与平面PAB所成的角为45°．

【解析】（Ⅰ）推导出∠ACB=45°，从而∠ACD=45°，进而四边形ABFE是平行四边形，推导出AC⊥EF，PA⊥EF，从而EF⊥平面PAC，由此能证明平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）由PA⊥AC，AC⊥AB，知AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成的角．