Question

【题目】已知三棱锥（如图）的平面展开图（如图）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）．

【解析】分析：（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而 PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．

（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

详解：（1）证明：

设的中点为，连接，．由题意得，

，，，

因为在中，，为的中点，

所以，

因为在中，，，，

所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面 平面.

（2）解：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则

，，，，.

由平面，故平面的法向量为，

由，，

设平面的法向量为，则

由得：

令，得，，即，

.

由二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值为.