Question

已知抛物线方程C：y²=2px（p＞0），点F为其焦点，点N（3，1）在抛物线C的内部，设点M是抛物线C上的任意一点，|

MF

|+|

MN

|的最小值为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B，与y轴交于点P，且

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

，试判断λ₁+λ₂是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）准线方程为l：x=-

p

2

，点M到l的距离设为d，由抛物线定义，|

MF

|+|

MN

|=d+|

MN

|≥3+

p

2

=4，由此能求出抛物线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（1，0），设l：y=k（x-1），则P（0，-k），由

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

知（1，k）=λ₁（x₁-1，y₁）=λ₂（x₂-1，y₂），由此能够判断λ₁+λ₂是为定值-1．

解答：解：（1）准线方程为l：x=-

p

2

，点M到l的距离设为d，由抛物线定义，|

MF

|+|

MN

|=d+|

MN

|≥3+

p

2

=4，p=2，所以y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（1，0）
由题意知直线l的斜率k存在且不等于0，
设l：y=k（x-1），则P（0，-k），
由

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

知（1，k）=λ₁（x₁-1，y₁）=λ₂（x₂-1，y₂）∴k=λ₁y₁=λ₂y₂∵k≠0，∴λ1=

k

y1

，λ2=

k

y2

，λ1+λ2=k×

y1+y2

y1y2

，
将y=k（x-1）代入y²=4x得y2-

4

k

y-4=0，y1+y2=

4

k

，y1•y2=-4∴

y1+y2

y1y2

=-

4

k

×

1

4

=-

1

k

，∴λ1+λ2=k×(-

1

k

)=-1为定值．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．