Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，

①求函数在点处的切线方程；

②比较与的大小;

（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析

【解析】

（1）①把代入函数解析式，求出函数的导函数得到，再求出，利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程；

②令，利用导数研究函数的单调性，可得当时，；当时，；当时，．

（2）由题意，，在上有唯一零点．利用导数可得当时，在上单调递减，当，时，在，上单调递增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，则，再由在上恒成立，得在上单调递减，进一步得到在上单调递增，由此可得．

解：（1）①当时，，，，

又，切线方程为，即；

②令，

则，

在上单调递减．

又，

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即．

证明：（2）由题意，，

而，

令，解得．

，，

在上有唯一零点．

当时，，在上单调递减，

当，时，，在，上单调递增．

．

在恒成立，且有唯一解，

，即，

消去，得，

即．

令，则，

在上恒成立，

在上单调递减，

又， ，

．

在上单调递增，

．