Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；

（2）若f(x)有两个极值点证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）求得函数的定义域和导数，然后对实数进行分类讨论，分析导数在区间的零点个数，结合导数的符号变化可得出结论；

（2）由（1）知，并且、是关于的二次方程的两根，利用韦达定理得出，，令，利用导数证明出不等式对任意的恒成立即可.

（1）因为定义域为，

所以.

（ⅰ）当时，，由得

当时，，当时，，

所以是函数的一个极值点；

（ⅱ）当时，.

①若，即当时，，

此时，函数在是减函数，函数无极值点，

若，即时，

方程有两根、，，，

，，不妨设，

当和时，，时，，

、是函数的两个极值点.

综上所述时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；

当时，函数有两个极值点；

（2）由（1）可知当且仅当时，函数有极小值点和极大值点，

且、是方程的两个正根，则，，

令，则

所以，函数在上单调递增，故，

故．