Question

已知x₁＞0，x₁≠1，且xn+1=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

，（n=1，2，…）．试证：数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_n＜x_n+1，或者对任意自然数n都满足x_n＞x_n+1．

Answer 1

分析：首先，xn+1-xn=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

-xn=

2xn(1- x 2 n )

3 x 2 n +1

，故x_n与x_n+1，的大小关系取决于x_n与1的大小，猜想分两类：x₁＜1和x₁＞1，最后利用数学归纳法进行证明即可．

解答：证：首先，xn+1-xn=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

-xn=

2xn(1- x 2 n )

3 x 2 n +1

，
由于x₁＞0，由数列{x_n}的定义可知x_n＞0，（n=1，2，…）
所以，x_n+1-x_n与1-x_n²的符号相同．
①假定x₁＜1，我们用数学归纳法证明1-x_n²＞0（n∈N）
显然，n=1时，1-x₁²＞0
设n=k时1-x_k²＞0，那么当n=k+1时
1-

x

2 k+1

=1-[

xk( x 2 k +3)

3 x 2 k +1

]2=

(1- x 2 k )3

(3 x 2 k +1)2

＞0，
因此，对一切自然数n都有1-x_n²＞0，
从而对一切自然数n都有x_n＜x_n+1
②若x₁＞1，
当n=1时，1-x₁²＜0；
设n=k时1-x_k²＜0，那么当n=k+1时
1-

x

2 k+1

=1-[

xk( x 2 k +3)

3 x 2 k +1

]2=

(1- x 2 k )3

(3 x 2 k +1)2

＜0，
因此，对一切自然数n都有1-x_n²＜0，
从而对一切自然数n都有x_n＞x_n+1

点评：本题主要考查了用数学归纳法证明不等式、不等式的证明，属于中档题．