Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知cosC=-

1

4

．
（Ⅰ）求sin

C

2

的值；
（Ⅱ）若ab=6，且sin²A+sin²B=

13

16

sin²C，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式化简cosC，根据C为钝角得到

C

2

为锐角，开方即可求sin

C

2

的值；
（Ⅱ）已知第二个等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理列出关系式，联立表示出c²，将ab的值代入计算求出c与a²+b²的值，即可确定出a，b及c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵cosC=1-2sin²

C

2

，cosC=-

1

4

＜0，
∴sin²

C

2

=

1-cosC

2

=

1-(- 1 4 )

2

=

5

8

，
∵C为钝角，∴

C

2

为锐角，
则sin

C

2

=

10

4

；
（Ⅱ）∵sin²A+sin²B=

13

16

sin²C，
∴由正弦定理得：a²+b²=

13

16

c²①
又由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²=c²-

1

2

ab②
由①、②得c²=

8

3

ab，
∵ab=6，
∴c=4，a²+b²=13，
解得：

a=2 b=3

或

a=3 b=2

，
∴a、b、c的值a=2，b=3，c=4或a=3，b=2，c=4．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．