Question

【题目】已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.

（1）若点的坐标为，求切线的方程；

（2）求四边形面积的最小值；

（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）或（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）解：①当切线斜率不存在时，切线方程为；②当切线斜率存在时，设切线方程为，根据直线和圆相切，求得，即可得到直线的方程；

（2）由四边形的面积，得到当最小时，四边形的面积最小，转化为点到直线的距离，即可求解，即可求解面积的最小值.

（3）设点，得到圆心坐标是，进而得到圆的方程，利用圆系方程，进而可判定经过三点的圆必过定点.

试题解析：

（1）①当切线斜率不存在时，切线方程为；

②当切线斜率存在时，设切线方程为，

因为直线和圆相切，所以圆心到切线的距离，解得，

所以切线方程为，即.

故所求切线方程为或.

（2）四边形的面积，

所以当最小时，四边形的面积最小.

又的最小值是圆心到直线的距离，

即.

所以四边形的面积最小值是.

（3）证明：过三点的圆即以为直径的圆，

设点，则圆心坐标是，

以为直径的圆的方程是 ，

化简，得，

即.（*）

令，解得或.

由于不论为何值，点、的坐标都适合方程（*），所以经过三点的圆必过定点，定点坐标是和.