Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足4Sn＝an2+2an，n∈N*.设bn＝（﹣1）nanan+1，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2n＝_____.

Answer 1

【答案】8n（n+1）

【解析】

由数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1；n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得所求和.

数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足4Sn＝a2an，n∈N*.

可得n＝1时，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2，

n≥2时，4Sn﹣1＝an﹣12+2an﹣1，又4Sn＝an2+2an，

相减可得4an＝an2+2an﹣an﹣12﹣2an﹣1，

化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，

由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，

则an＝2+2（n﹣1）＝2n，

bn＝（﹣1）nanan+1＝（﹣1）n4n（n+1），

可得T2n＝4[﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×6+6×7﹣…﹣（2n﹣1）（2n）+（2n）（2n+1）]

＝4（2×2+2×4+2×6+…+2×2n）＝8n（2+2n）＝8n（n+1）.

故答案为：8n（n+1）.