Question

【题目】O为坐标原点，直线l与圆x2+y2=2相切．
（1）若直线l分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及面积取得最小值时的直线l的方程．
（2）设直线l交椭圆 =1于P、Q两点，M为PQ的中点，求|OM|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线l的方程为 =1（a，b＞0），

由直线和圆x2+y2=4相切，可得 = ，

即有 = ≥ ，即ab≥4，

当且仅当a=b=2时，取得等号．

则△AOB面积S= ab的最小值为2；

此时直线的方程为x+y﹣2=0

（2）解：若直线的斜率不存在，设为x=t，

由直线和圆相切可得，t=﹣ 或 ．

代入椭圆方程可得，y=± ，

可得中点M坐标为（﹣ ，0）或（ ，0），|OM|= ；

设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，

（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6=0，

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＞0，

即为m2＜3+6k2，

由直线和圆相切，可得 = ，

即为m2=2+2k2，由2+2k2＜3+6k2，可得k∈R，

设P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），

可得x1+x2=﹣ ，中点M的坐标为（﹣ ， ），

即有|OM|= =

设1+2k2=t（t≥1），则|OM|= =

= ，由t≥1可得t=2取得最大值 ，

t=1时，取得最小值 ．

故|OM|的范围是[ ， ]

【解析】（1）设出直线方程，由直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式，即可得到面积的最小值和此时直线的方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合判别式大于0，化简整理即可得到所求范围．