Question

函数f（x）=2^x-2^-x（x∈R）．
（1）证明函数f（x）在R上为单调增函数；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）用函数单调性的定义证明f（x）是R上的增函数．
（2）用函数奇偶性的定义证明f（x）是R上的奇函数．

解答：解：（1）证明：在定义域R中任取两个实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（2x1-2-x2）-（2x2-2-x2）=2x1-2x2+

1

2x2

-

1

2x1

=（2x1-2x2）（1+

1

2x1+x2

）；
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，1+

1

2x1+x2

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）是R上的增函数．
（2）函数f（x）是R上的奇函数．
∵f（x）=2^x-2^-x，
∴f（-x）=2^-x-2^x=-f（x）；
∴f（x）是R上的奇函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定与证明，是基础题．