Question

【题目】已知函数，，其中a为常数，且曲线在其与y轴的交点处的切线记为，曲线在其与x轴的交点处的切线记为，且．

求，之间的距离；

若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；

对于函数和的公共定义域中的任意实数，称的值为两函数在处的偏差求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见证明

【解析】

求出函数的导数，结合题意求出a的值，求出，的解析式，求出平行线间的距离即可；令，问题转化为，求出m的范围即可；

法一：令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，证明即可；法二：令，，令，；令，，根据函数的单调性证明即可．

，，

的图象与坐标轴的交点为，

的图象与坐标轴的交点为，

由题意得，即，

又，

，，

函数和的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：

，，

两平行切线间的距离为

由，得，

故在有解，

令，则，

当时，；

当时，，

，

，，

，

故，

即在区间上单调递减，

故，，

即实数m的取值范围为

解法一：

函数和的偏差为：，，

，设为的解，则

则当，；当，，

在单调递减，在单调递增，

，

，，，

故F，

即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于

解法二：

由于函数和的偏差：，，

令，；令，，

，，

在单调递增，在单调递减，在单调递增，

，，

，

即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于