Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+a}$（a＞0）．
（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+2y+b=0，求a+b的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为$\frac{1}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用f′（1）=-$\frac{1}{2}$，f（1）=$\frac{2}{1+a}$=$-\frac{1+b}{2}$，即可得出．
（2）令-x²-2x+a=0，则△=4+4a＞0．解得x=-1$±\sqrt{1+a}$．可得f′（x）=$\frac{-（x+1+\sqrt{1+a}）[x-（\sqrt{1+a}-1）]}{（{x}^{2}+a）^{2}}$．令$\sqrt{1+a}$-1=1，解得a=3．对a分类讨论，利用单调性即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1×（{x}^{2}+a）-2x（x+1）}{（{x}^{2}+a）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-2x+a}{（{x}^{2}+a）^{2}}$．（a＞0）．
∴f′（1）=$\frac{a-3}{（1+a）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，又f（1）=$\frac{2}{1+a}$=$-\frac{1+b}{2}$，
解得a=1，b=-3．
∴a+b=-2．
（2）令-x²-2x+a=0，则△=4+4a＞0．
解得x=-1$±\sqrt{1+a}$．
∴f′（x）=$\frac{-（x+1+\sqrt{1+a}）[x-（\sqrt{1+a}-1）]}{（{x}^{2}+a）^{2}}$．
令$\sqrt{1+a}$-1=1，解得a=3．
∴0＜a≤3时，f′（x）≤0，因此函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，∴x=1时取得最大值，
f（1）=$\frac{2}{1+a}$=$\frac{1}{4}$，解得a=7，舍去．
3＜a时，$1≤x＜\sqrt{1+a}-1$时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间[1，$\sqrt{1+a}$-1）上单调递增；x＞$\sqrt{1+a}$-1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间[$\sqrt{1+a}$-1，+∞）上单调递减．
∴x=$\sqrt{1+a}$-1时取极大值即得最大值，∴$f（\sqrt{1+a}-1）$=$\frac{\sqrt{1+a}-1+1}{（\sqrt{1+a}-1）^{2}+a}$=$\frac{1}{4}$，解得a=8，满足条件．
综上可得：a=8．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、分类讨论、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．