Question

已知函数(,为自然对数的底数).
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；
(2)求函数的极值；
(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
(注：可能会用到的导数公式：；）

Answer 1

(1)；(2) 当时,函数无极小值；当,在处取得极小值,无极大值；(3)1．

解析试题分析：（1）依题意，，从而可求得的值；（2），分①时、②讨论，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可求其极值；（3）令，则直线:与曲线没有公共点方程在上没有实数解．分与讨论即可得答案．
试题解析：(1)由,得.
又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得.
(2),
①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,. ,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上，当时,函数无极小值；当,在处取得极小值,无极大值.
(3)当时,，
令,
则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解.
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故