Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，公差为3的等差数列{b_n}满足b₂是b₁与b₆的等比中项．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（I）∵数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，∴n≥2时，S_n-1=1-a_n-1，
∴两式相减可得a_n=a_n-1-a_n，∴=（n≥2）
∵n=1时，S₁=1-a₁，∴a₁=
∴数列{a_n}是以为首项，为公比的等比数列
∴a_n=；
∵公差为3的等差数列{b_n}满足b₂是b₁与b₆的等比中项
∴（b₁+3）²=b₁•（b₁+15）
∴b₁=1
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•
∴T_n=1•+4•+…+（3n-2）•
∴T_n=1•+4•+…+（3n-5）•+（3n-2）•
两式相减可得T_n=1•+3•+3•+…+3•-（3n-2）•=2-（3n+4）•
∴T_n=4-（6n+8）•．
分析：（I）利用数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，，再写一式，两式相减可得数列{a_n}是以为首项，为公比的等比数列，从而可得数列{a_n}的通项公式；利用公差为3的等差数列{b_n}满足b₂是b₁与b₆的等比中项，可求首项，从而可得{b_n}的通项公式；
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•，利用错位相减法，可得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．