Question

过椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求

AO

•

AF1

的范围；
（2）若

OA

⊥

OB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）用坐标表示向量，再利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求

AO

•

AF1

的范围；
（2）分类讨论，利用

OA

⊥

OB

，结合韦达定理，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

2

+y2=1，
∴a=

2

，b=1，c=1，
∴F₁（-1，0），…（1分）
设A（x₁，y₁），则

AO

•

AF1

=

x

2 1

+x1+

y

2 1

…（3分）
∵

x12

2

+y12=1，
∴

AO

•

AF1

=

x

2 1

+x1+

y

2 1

=

1

2

x

2 1

+x1+1=

1

2

(x1+1)2+

1

2

…（5分）
∵x1∈[-

2

，

2

]，
∴

AO

•

AF1

∈[

1

2

，

2

+2]，…（6分）
（2）设A、B两点的坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
①当l平行于y轴时，点A(-1，

2

2

)、B(-1，-

2

2

)，此时

OA

•

OB

=

1

2

≠0…（8分）
②当l不平行于y轴时，设直线l的斜率为k，则直线l方程为y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0…（9分）
∴x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

…（11分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2
=(1+k2)•

2k2-2

1+2k2

-k2•

4k2

1+2k2

+k2=0
解得k²=2，
∴k=±

2

…（13分）
故所求的直线方程为y=±

2

(x+1)…（14分）

点评：本题考查椭圆方程及其性质，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．