Question

【题目】M是椭圆T：1（a＞b＞0）上任意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，如下图所示，已知|MF|的最大值为3，且△MAF面积最大值为3．

（1）求椭圆T的标准方程

（2）求△ABM的面积的最大值S0．若点N（x，y）满足x∈Z，y∈Z，称点N为格点．问椭圆T内部是否存在格点G，使得△ABG的面积S∈（6，S0）？若存在，求出G的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，坐标为（2，﹣1）

【解析】

（1）由椭圆性质可知，由已知条件得，且的最大值为2，即b=2，结合a，b，c的关系可求出椭圆T的方程．

（2）由题知直线AB的方程为，设直线与椭圆T相切于x轴下方的点M0，则△ABM0的面积为△ABM的面积的最大值S0．直线与椭圆联立求出直线AB与直线l距离为，由此能求出（2，﹣1）为所求格点G．

（1）由椭圆性质可知，

其中c＞0，c2＝a2﹣b2，

因为xM∈[﹣a，a]，故|MF|∈[a﹣c，a+c]，即

又△MAF面积最大值为3．且 ，∴的最大值为2，即b=2，又b2＝a2﹣c2且

解之得

椭圆T的方程为

（2）由题知直线AB的方程为，

设直线与椭圆T相切于x轴下方的点M0，

则△ABM0的面积为△ABM的面积的最大值S0.

此时，直线AB与直线l距离为，

而

而，令，则

设直线到直线AB的距离为，

则有，解得n＝﹣2或6，

注意到l1与直线AB平行且l1需与椭圆T应有公共点，

故只需考虑n＝﹣2的情形．

直线经过椭圆T的下顶点B0（0，﹣2）与右顶点A0，

则线段A0B0上任意一点G0与A、B组成的三角形的面积为6

根据题意若存在满足题意的格点G，则G必在直线A0B0与l之间．

而在椭圆内部位于四象限的格点为（1，﹣1），（2，﹣1）

因为，故（1，﹣1）在直线A0B0上方，不符题意

而，则点（2，﹣1）在直线A0B0下方，

且，点在椭圆内部，

所以（2，﹣1）为所求格点G．