Question

【题目】已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．

（1）若直线l与圆O相切，求k的值；

（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；

（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．

Answer 1

【答案】（1）k=±1；（2）（-）∪（1，）；（3）直线CD过定点（）．

【解析】

（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．

（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x+）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．

解：（1）∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2．直线l与圆O相切，

∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，

即d==，

解得k=±1．

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，

∴，，

△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1，

当∠AOB为锐角时，

=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）

=

=＞0，

解得k2＜3，

又k2＞1，∴-或1＜k＜．

故k的取值范围为（-）∪（1，）．

（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，

设P（t，），其方程为x（x-t）+y（y）=0，

∴，

又C，D在圆O：x2+y2=2上，

两圆作差得lCD：tx+，即（x+）t-2y-2=0，

由，得，

∴直线CD过定点（）．