Question

【题目】已知长方形中，，，为中点，将沿折起到△，所得四棱锥，如图所示．

（1）若点为中点，求证：平面；

（2）求的体积；

（3）求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据中位线定理可证，进而可证是平行四边形，所以，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）由平面平面可得平面，算出的值进而可得的体积；（3）先证，再根据四棱锥中，，然后根据线面垂直的判定定理可得平面，进而可得结论.

试题解析：（1）证明：取中点，连接，，

∵在△中，点，分别是所在边的中点，所以，

又，所以．

所以是平行四边形，所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）∵平面平面，

在△中，作于，

∵平面平面，

∴平面，

在△中，计算可得，

∴．

（3）在矩形中，连接交于，

因为，，所以，

所以，

所以在四棱锥中，，，

又，所以平面，

因为平面，所以．