Question

（本小题满分12分）

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局.

（1）列出随机变量ξ的分布列；（2）求ξ的期望值Eξ.

Answer 1

解法1：

（1）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为()²＋()²＝.

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从在则有

P（ξ＝2）＝，P（ξ＝4）＝·＝，P（ξ＝6）＝()²＝，

∴ξ的分布列为

ξ	2	4	6
P

（9分）

（2）Eξ＝2×＋4×＋6×＝.

（12分）

解法2：

（1）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.

令A_k表示甲在第k局比赛中获胜，则_k表示乙在第k局比赛中获胜.

由独立性与互斥性得

P（ξ＝2）＝P(A₁A₂)＋P()＝，

P（ξ＝4）＝P()＋P()＋P()＋P()

＝2[()³()＋()³()]＝，

P（ξ＝6）＝P()＋P()＋P()＋P()

＝4()²()²＝，

∴ξ的分布列为

ξ	2	4	6
P

（9分）

（2）Eξ＝2×＋4×＋6×＝.

（12分）