Question

设数列{a_n}，{b_n}满足，且b_n=ln（1+a_n），n∈N*．
（1）证明：；
（2）记{a_n²}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，证明：2B_n-A_n＜8．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先证明，由题意易知a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*），故只要证b_n-a_n＞0即可，
结合题目条件可利用构造函数证明．，也可构造函数证明．
（2）由条件可得，可求出a_n用错位相减法求出A_n，再结合（1）中的关系比较大小即可．
解答：解：（1）由知，a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*）．，（2分）
设函数，则当x＞0时，，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，即b_n-a_n＞0，∴
∵．
设函数g（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则当x＞0时，，
∴g（x）在[0，+∞）上是减函数，故g（x）＜g（0）=0，
∴ln（1+a_n）-a_n＜0
综上得：
（2）由得：，
∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴，
∵2b_n-a_n²=2ln（1+a_n），由（1）的结论有ln（1+a_n）＜a_n，
∴2b_n-a_n²＜2a_n，
∴．
令S_n=，则，相减得：，
∴，（13分）
∴
点评：本题考查函数单调性的应用：利用函数单调性证明数列不等式，构造函数需要较强的观察能力，难度较大，综合性强．