Question

【题目】已知焦点在轴的椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点.

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，点，有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据双曲线离心率求得椭圆离心率，即得的关系，根据用表示出，即可设出椭圆方程，把点代入即可求得椭圆方程；（2）说明点在线段的垂直平分线上，根据整理方程组，由建立不等式，由韦达定理求得的中点坐标，可得垂直平分线方程，把中点坐标代入垂直平分线方程即可建立的关系，代入即可求得的范围.

试题解析：（1）双曲线，即的离心率为.由题意可得，椭圆的离心率，设椭圆方程为，∴椭圆方程为.又点在椭圆上，∴，∴椭圆的方程为.

（2）设，由，消去并整理得，

∵直线与椭圆有两个交点，，即，

又，∴中点的坐标为，即为，所以在的垂直平分线上，设的垂直平分线方程：，∵在上，

∴，得，

将上式代入①式得，即或，

∴的取值范围为.