Question

【题目】函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当在上单调递增时，证明：对任意且．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数零点，根据两个零点大小关系分类讨论导函数符号变化规律，进而确定函数单调区间，（2）利用导数证明不等式，关键是构造恰当的目标函数，因此先利用分析法探求目标函数：第一步，根据（1）得，第二步，同除以，将二元问题转化为一元（关于），第三步，利用导数研究函数单调性（单调递增），第四步，根据单调性，得不等关系，根据等价性得原不等式成立.

试题分析：解：（1），

，

令得.

当，即时，，故在上单调递增，

当，即时，令，得，所以在上单调递减；

同理，可得在上单调递增.

当，即时，令，得，所以在上单调递减；

同理，可得在上单调递增.

综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，当在上单调递增时，，故.

不妨设，则要证，

只需证，

即证，

只需证，

令，

则，不等式可化为.

下面证明：对任意，

令，即，

则，

令，则，所以在上单调递增，

又，所以当时，即，

故在上单调递增,

又，

所以当时，，

故对任意，，

所以对任意且，.