Question

【题目】如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA中点．
（1）求证：直线BD⊥平面OAC；
（2）求直线MD与平面OAC所成角的大小；
（3）求点A到平面OBD的距离．

Answer 1

【答案】解：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD．
∵底面ABCD是边长为1的正方形
∴BD⊥AC，又AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC
（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC所成的角,
∵MD=，DE=
∴直线MD与平面OAC所成的角为30°
（3）作AH⊥OE于点H．
∵BD⊥平面OAC
∴BO⊥AH
线段AH的长就是点A到平面OBD的距离．
∴AH=
∴点A到平面OBD的距离为
【解析】（1）直接证明直线BD垂直平面内的两条相交直线即可利用判定定理证明结果．
（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC所成的角，通过解三角形求解即可．
（3）作AH⊥OE于点H．说明线段AH的长就是点A到平面OBD的距离，利用三角形相似求解即可．
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．