Question

【题目】如图，已知椭圆：（）的离心率为，并以抛物线：的焦点为上焦点.直线：（）交抛物线于，两点，分别以，为切点作抛物线的切线，两切线相交于点，又点恰好在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最大值；

（3）求证：点恒在的外接圆内.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由条件有，即，由离心率可得，然后可求出，得到椭圆方程.
(2) 设，,将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，：求出直线的方程，同理可得：，可得到，根据点在椭圆，得到，利用均值不等式可到答案.
(3) 因为过原点，所以可设的外接圆方程为,将，坐标代入圆的方程，求出，将点代入外接圆方程可得，从而可证.

（1）解：由已知得，所以，

又因为，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）设，，由直线：（）与抛物线：方程联立可得，

所以

因为，所以：，即：，

同理可得：，

由直线的方程与直线的方程联立有，可得

将代入直线可得

所以，即，

因为点在椭圆上，所以，

即.

因为，

所以当，时，取得最大值.

（3）证法：因为过原点，所以可设的外接圆方程为，

由已知可得

故

，

所以，

将点代入外接圆方程可得，

因为，所以，

所以点恒在的外接圆内.

证法二：设的外心为，

由已知可得的中垂线为，即，

同理的中垂线为，

联立可得

所以，

又因为，，

所以，

所以点恒在的外接圆内.