Question

设函数f（x）=

1，1≤x≤2 x-1，2＜x≤3

，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a∈R，记函数g（x）的最大值与最小值的差为h（a）．
（I）求函数h（a）的解析式；
（II）画出函数y=h（x）的图象并指出y=h（x）的最小值．

Answer 1

分析：（I） 先化简g（x）的解析式，当a＜0时，当a＞1时，当0≤a≤1时，分别求出最大值与最小值的差为h（a）．
（II ）画出y=h（x）的图象，数形结合，求出 y=h（x）的最小值．

解答：解：（I） g（x）=

1-ax，1≤x≤2 (1-a)x-1，2＜x≤3

，
（1）当a＜0时，函数g（x）是[1，3]增函数，此时，
g（x）_max=g（3）=2-3a，
g（x）_min=g（1）=1-a，所以h（a）=1-2a．
（2）当a＞1时，函数g（x）是[1，3]减函数，此时，
g（x）_min=g（3）=2-3a，
g（x）_max=g（1）=1-a，所以h（a）=2a-1．
（3）当0≤a≤1时，若x∈[1，2]，则g（x）=1-ax，有
g（2）≤g（x）≤g（1）；
若x∈[2，3]，则g（x）=（1-a）x-1，有g（2）≤g（x）≤g（3）；
因此，g（x）_min=g（2）=1-2a，
而g（3）-g（1）=（2-3a）-（1-a）=1-2a，
故当0≤a≤

1

2

时，g（x）_max=g（3）=2-3a，有h（a）=1-a．
当

1

2

＜a≤1时，g（x）_max=g（1）=1-a，有h（a）=a．
综上所述：h（a）=

1-2a，a＜0 1-a，0≤a≤ 1 2 a 1 2 ＜a≤1 2a-1，a＞1

．
（II）画出y=h（x）的图象，如图：数形结合，可得 h(x)min=h(

1

2

)=

1

2

．

点评：本题考查求函数的最大值、最小值的方法，体现了数形结合、及分类讨论的数学思想．