已知函数
（
为小于
的常数）．
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）存在
使不等式
成立，求实数的取值范围．
（1）
的单调递增区间为
，递减区间为
和
；（2）
.
解析试题分析：先求出导函数
，（1）将代入得到
，进而由
及
可求出函数的单调增区间与减区间；（2）先将存在使不等式成立等价转化成
；然后由
，得
或
，进而对分
、
、
三种情况，分别求出函数在
上的最大值， 进而求解不等式得出的取值范围结合各自的条件求得各种情况下的取值范围，最后这三种情况的的取值范围的并集即可.
(1) 当时，
所以由
，由
或
所以的单调递增区间为，递减区间为和
(2) ，令，得或
①当时，即
时，在上单调递增
则
，解得
，所以满足题意
②当时，即
时在
上单调递增，
上单调递减
故
，解得
，所以当时满足题意
③当时，即
时，在上单调递减
故
，解得
，所以
时满足题意
综上所述.
考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数；3.不等式存在成立问题；4.分类讨论的思想.
全能测控一本好卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
．
(1)当a=1时，求曲线
在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的值；
(3)若对任意
，且
恒成立，求a的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常数．
(1)若a≠b，求证：函数f(x)存在极大值和极小值；
(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1，x2，设点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直线AB的斜率为－
，求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（14分）（2011•天津）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
(其中
)，
为f(x)的导函数.
（1）求证：曲线y=
在点(1，
)处的切线不过点(2，0)；
（2）若在区间
中存在
，使得
，求
的取值范围；
（3）若
，试证明：对任意
，
恒成立.
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.
.
在
时有极值，求实数
的值和
在
上是增函数；
没有负数根．