Question

【题目】已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ， a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=anlog an ， 求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）设等比数列{an}的首项为a1 ， 公比为q ∵a3+2是a2 ， a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
∴
∴ 或
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n
∴bn= =﹣n2n
∴﹣sn=1×2+2×22+…+n×2n①
∴﹣2sn=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②
∴①﹣②得，
sn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1=2n+1﹣n2n+1﹣2
【解析】（I）根据a3+2是a2 ， a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1 ， 即可求得通项公式；（II）先求出数列{bn}的通项公式，然后求出﹣Sn﹣（﹣2Sn），即可求得的前n项和Sn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．