【题目】如图，在三棱柱
中，底面
是边长为2的等边三角形， 
为
的中点.
(1)求证： 
平面
；
(2)若四边形
是正方形，且
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，先利用中位线定理证明DO∥BC1，再利用线面平行的判定定理证明结论即可；（2）推导出三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值
试题解析：(1)证明：连结
，设
与
相交于点
，连接
，则
为
中点，
为
的中点, 
……2
∴
平面
. ……4
（2）取
的中点
，连结
，则
，故
，∴
,
平面
……8
取
中点
，连结
，过点作
，则
连结
， 
，
为直线
与平面
所成的角， ……10
即直线
与平面所
成的角的正弦值为
. ……12
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【题目】已知函数
，
，
．
（1）当
，
时，求函数
的单调区间；
（2）当
时，若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）设函数
的图象在两点
，
处的切线分别为
，
，若
，
，且
，求实数
的最小值．
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【题目】已知动圆过点
，且被
轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）问： 
轴上是否存在一定点
，使得对于曲线
上的任意两点
和
，当
时，恒有
与
的面积之比等于
？若存在，则求
点的坐标，否则说明理由．
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【题目】已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，短轴的两个端点分别为
，
．
（1）若
为等边三角形，求椭圆的方程；
（2）若椭圆的短轴长为2，过点
的直线
与椭圆相交于
、
两点，且
，求直线的方程．
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【题目】如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足
．
(1)求证：四边形EFGH是梯形；
(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．
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