Question

（本小题满分14分）

已知数列满足：其中

（1）当时，求的通项公式；

（2）在（1）的条件下，若数列中，且求证：对于恒成立；

（3）对于设的前项和为，试比较与的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）＜．

【解析】

试题分析：(I) 当时,可求出从而可得即因而可确定是首项为公比为的等比数列,据此求出其通项公式；

（II）先求出当时，

,

因为b₁=1也满足上式，因而当时，

然后根据,从得可求出.

(3) 由得：

　

即

从而得到是首项为公比为的等比数列，故,

然后可得　　

＝,

通过分组求和即可求出S_n,到此问题基本得以解决.

（1）当时，

即分

故数列是首项为公比为的等比数列．

故数列的通项公式为　………………………4分

（2）由（1）得，当时，有

…………………6分

也满足上式，故当时，

，

即…………………………8分

（3）解法一：由得：

　

即

是首项为公比为的等比数列，故………………9分

　　＝

　　＝………………………11分

因此，－＝－

＝

＝

＝

＜．……………………14分

解法二：同解法一得 ……………………9分

……………………11分

　　＝

　

＜．…………………14分(其他解法酌情给分)

考点：三角函数的倍角公式，等比数列的定义，通项公式及前n项和公式，三角函数的值域，分组求和，作差比较法判定两个数的大小.

点评：（1）等差等比数列的定义是判定一个数列是否是等差或等比数列的依据，要勿必掌握.（2）三角函数公式的变形也是解决本题的基础，因此要熟记常见的变形公式如：

，还有等.

（3）在比较两个数或式子大小不易直接比较时，作差比较法是常用也是很有效的方法之一.