Question

设抛物线y=

1

4

x2的焦点为F，M为抛物线上异于顶点的一点，且M在准线上的射影为点M′，则在△MM′F的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：利用抛物线的定义推出MF=MM′，说明三角形是等腰三角形，推出△MM′F的重心、外心和垂心的位置，利用三角形的斜边大于直角边，推出结果．

解答：解：△MM′F的外心一定不在抛物线上，
因为外心到三个顶点的距离相等，外心为C，CM大于C到准线的距离，C不满足抛物线的定义；
△MM′F的垂心为O也可能在抛物线上，
因为MF=MM′，当三角形FMM'为等腰直角三角形时，垂心与M重合，垂心在抛物线上；
△MM′F的重心为O，也不在抛物线上，
因为MF=MM′，重心在∠MFM′的平分线上，因而有FO=OM，OM大于O到准线的距离，
不满足抛物线的定义；
故选B．

点评：本题考查抛物线的定义，直角三角形的斜边与直角边的关系．考查逻辑推理能力．