Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值；

（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）的极大值为；极小值为；（2）；（3）见解析

【解析】

（1），列极值表，即可求得的极值；（2）设切线方程为，从而，记，即求在上恒成立，将变形为恒成立，由基本不等式成立求得；（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，分别写出 处的切线方程，由为同一直线得整理得消去得，，令构造函数，求导求得，推出矛盾，说明假设不成立，则不存在

（1） 当时，函数的定义域为．

则，令 得，或．列表：

		1		2
	+	0		0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数的极大值为；极小值为．

（2）依题意，切线方程为，

从而，

记，

则在上为单调增函数，

所以在上恒成立，

即在上恒成立．

变形得在上恒成立 ，

因为（当且仅当时，等号成立），

所以，从而，所以．

（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，不妨，则处切线的方程为：，

处切线的方程为：．

因为，为同一直线，所以即

整理得， 消去得，．

令，由与，得，

记，则，

所以为上的单调减函数，所以．

从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点．