Question

【题目】如图，直三棱柱中，，是中点．

证明：平面；

线段上是否存在点，使三棱锥的体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）为的中点.

【解析】

连接，与 交于点O，连接OD，，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定可得平面；

连接，假设线段上存在点N，使得三棱锥 的体积为，设N到平面 的距离为h，由三棱锥的体积为求得h，进一步求得

N为 的中点得结论．

证明：如图，连接，与 交于点O，连接OD，，

在中，O和D分别是和CB的中点，则，

又平面，

平面；

解：连接，假设线段上存在点N，使得三棱锥的体积为，

设N到平面 的距离为h，

由题意可知，为等边三角形，

又D为BC的中点，．

又三棱柱为直三棱柱，，

故AD平面，

为直角三角形，，，

的面积为，由三棱锥的体积公式可知，，

．

又平面，平面平面，

故点N到平面 的距离与点N到直线的距离相等，

又为等腰直角三角形，点C到直线的距离为．

又点B与点C到到平面的距离相等，故点B到直线的距离也为，

当N为的中点时，点N到平面的距离为，三棱锥的体积为．