Question

已知函数f(t)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.

(1)若t为正整数，试求f(t)的表达式.

(2)满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由.

(3)若t为自然数，且t≥4,f(t)≥mt²+(4m+1)t+3m恒成立，求m的最大值.

Answer 1

分析:第（1）问，可通过赋值，建立关于f(t)的递推关系，再求f(t)；第（2）问，应先求出t∈Z时，f(t)的解析式，再求出f(t)=t的所有整数解，当可判断；第（3）问，则可以利用极端原理，将变量m单独分离，再求其最大值.

解:（1）令x=t,y=1得，y(t+1)=f(t)+f(1)+3t(t+3)+3,即f(t+1)-f(t)=3t²+9t+4.故

f(t)-f(t-1)=3(t-1)²+9(t-1)+4,f(t-1)-f(t-2)=3(t-2)²+9(t-2)+4,f(t-2)-f(t-3)=3(t-3)²+9(t-3)+4,…

f(2)-f(1)=3×1²+9×1+4.将上述t-1个等式相加得，f(t)-f(1)=3［1²+2²+…+(t-1)²］+9［(1+2+…+(t-1)］+4(t-1),∴f(t)=t³+3t²-3(t∈N^*).

（2）由(1),当t∈N^*时，f(t)=t³+3t²-3.又令x=y=0,得f(0)=-3.当t为负整数时，-t∈N^*时，

f(-t)=-t³+3t²-3.而f(0)=f［t+(-t)］=f(t)+f(-t)+3(-t²)×2+3=-3.此时，f(t)=-f(-t)+6t²-6=t³+3t²-3.综上所述，t∈Z时，均有f(t)=t³+3t²-3.由f(t)=t得,t³+3t²-3=t,即(t+3)(t+1)(t-1)=0,∴t=-3,-1,1.

    故满足f(t)=t的所有整数t能构成等差数列，所求数列为-3，-1，1或1,-1，-3.

（3）∵f(t)≥mt²+(4m+1)t+3m,∴f(t)-t≥m(t²+4t+3),

    即(t+3)(t+1)(t-1)≥m(t+3)(t+1),而t为自然数，且t≥4,∴(t+3)(t+1)＞0,

    故m≤t-1,∵t≥4,∴(t-1)_min=3,故m的最大值为3.

评述：第（1）问求f(t)使用的是累差法.一般地，形如a_n+1-a_n=f(n),且{f(n)}的前n项和可求，则均可用累差法求得a_n.本题是以函数为载体的，其本质是一个数列问题：

f(t)-f(t-1)=3(t-1)²+9(t-1)+4类比a_n-a_n-1=3(n-1)²+9(n-1)+4，因此要提升以函数思想处理数列问题的能力.