Question

10．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，A₁A=1，
（1）求证：直线BC₁∥平面D₁AC；
（2）求直线BC₁到平面D₁AC的距离．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）求出三棱锥D_1-ABC的体积V，再△AD₁C为底面的三棱锥B--AD₁C的体积，从而求出线BC₁到平面D₁AC的距离即可．

解答 解：（1）因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，故AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，
故ABC₁D₁为平行四边形，故BC₁∥AD₁，显然B不在平面D₁AC上，
故 直线BC₁平行于平面DA₁C；
（2）直线BC₁到平面D₁AC的距离即为点B到平面D₁AC的距离（设为h）
以△ABC为底面的三棱锥D_1-ABC的体积V，可得V=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×2）×1=\frac{1}{3}$
而△AD₁C中，AC=D₁C=$\sqrt{5}，A{D_1}=\sqrt{2}$，故${S_{△A{D_1}C}}$=$\frac{3}{2}$
所以以△AD₁C为底面的三棱锥B--AD₁C的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×h=\frac{1}{3}⇒h=\frac{2}{3}$，
即直线BC₁到平面D₁AC的距离为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．