Question

5．设函数$f（x）=|{\frac{1}{2}x+1}|+|{x-1}|（x∈R）$的最小值为a．
（1）求a；
（2）已知两个正数m，n满足m²+n²=a，求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函数的形式，通过讨论x的范围，求出a的值即可；（2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可．

解答 解：（1）函数$f（x）=|{\frac{1}{2}x+1}|+|{x-1}|=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}x，x≤-2\\-\frac{1}{2}x+2，-2＜x＜1\\ \frac{3}{2}x，x≥1\end{array}\right.$，
当x∈（-∞，1]时，f（x）单调递减；
当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增，
所以当x=1时，f（x）的最小值a=$\frac{3}{2}$．
（2）由（Ⅰ）知m²+n²=$\frac{3}{2}$，由m²+n²≥2mn，得mn≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{mn}$≥$\frac{4}{3}$，
故有 $\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$≥$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，当且仅当m=n=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时取等号，
所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．