【题目】已知函数
，
且满足
.
（1）求实数
的值；
（2）判断函数
在区间
上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）若关于
的方程
有三个不同的实数解，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）单调递增，证明见解析；（3）
.
【解析】
（1）根据
计算
的值，注意
的限制；
（2）定义法证明的步骤：先假设
的范围和大小关系，然后通过计算判断
与
的大小关系，最后根据判断结果说明单调性即可；
（3）将问题转化为图象的交点问题：作出
的草图，计算当直线
与的图象有
个交点时
的范围即为所求.
（1）因为且，所以
，所以或
（舍），则；
（2）判断：单调递增；
证明：因为
，所以
，
任取
，所以
，
又因为，所以
，
，
所以
，所以
在
上单调递增；
（3）作出与图象如下图所示：
可看作是绕原点旋转的直线（不与
轴重合），
因为方程
有三个不同的实数解，所以与图象有三个不同交点，
则有
，临界位置：与在
的图象相切，此时，
不妨令：
，所以
，所以
，所以
，
此时有
，所以
，所以切点为
，综上：
.
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【题目】当函数的自变量取值区间与值域区间相同时，我们称这样的区间为该函数的保值区间，函数的保值区间有
、
、
三种形式，以下四个二次函数图像的对称轴是直线
，从图像可知，有二个保值区间的函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】等边
的边长为
，点
，
分别是
，
上的点，且满足
(如图(1))，将
沿
折起到
的位置，使二面角
成直二面角，连接
，
(如图(2)).
(1)求证：
平面
；
(2)在线段上是否存在点
，使直线
与平面
所成的角为
?若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，圆心C的轨迹为E，
（1）求圆心C的轨迹E的方程；
（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．
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【题目】已知O是坐标原点，抛物线
的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，Q为抛物线C的准线上一点，且
.
（1）求Q点的坐标；
（2）设与直线垂直的直线与抛物线C交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C的切线
，
设直线与交于点P，若
，求
外接圆的标准方程.
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【题目】如图，四棱锥PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【题目】已知抛物线C：
经过点
，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若
，求
面积的最小值．
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