Question

【题目】等边的边长为，点，分别是，上的点，且满足 (如图(1))，将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，(如图(2)).

(1)求证：平面；

(2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在点，.

【解析】

（1）通过证明，即可证明平面；（2）以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，设，然后并求出平面的一个法向量及的坐标，最后根据即可求出的值及的长度.

(1)证明　题图(1)中，由已知可得：

，，.

从而.

故得，所以，.

所以题图(2)中，，，

所以为二面角的平面角，

又二面角为直二面角，

所以，即，

因为且、平面，

所以平面.

(2)解　存在.由(1)知，平面.

以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

过作交于点，

设，则，，，

易知，，，

所以.

因为平面，

所以平面的一个法向量为.

因为直线与平面所成的角为，所以，解得.

所以，满足，符合题意.

所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时.