Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形， ,点为的中点.

（1）证明： ；

（2）设点在线段上，且平面，若平面平面，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（1）要证明线线垂直，可先证明线面垂直，由是中点，可知，又由是锐角为的菱形，可得，从而有线面垂直，再得线线垂直；

（2）与平面平行，则与平面内一条直线平行，由平面平面可得两两垂直，以它们为轴可建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角可得二面角大小，其中在求平面法向量时，平面的一条直线的方向向量可用代替．

试题解析：

（1）连接，

因为， 所以为正三角形，又点为的中点，

所以.

又因为， 为的中点，所以.

又，

所以平面，

又平面，所以.

（2）连接交于，连接.

因为平面， 平面，平面平面，

所以，

由（1）知.

又平面平面，交线，

所以平面，

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ，

设平面的一个法向量为,

可得

因为，所以 得 ，

由（Ⅰ）知平面，则取平面的一个法向量

，

故二面角的大小为.