Question

（2013?湖南模拟）2005年10月12日9时，“神舟六号”飞船发射升空，飞船按预定轨道在太空飞行四天零十九小时32分（用t表示），环绕地球77圈（用n表示）．“神舟六号”运行过程中由于受大气阻力和地球引力的影响，飞船飞行轨道会逐渐下降．为确保正常运行，“神舟六号”飞船飞行到第30圈时，对飞船进行了一次精确的“轨道维持”（通过发动机向后喷气，利用反冲校准轨道）．设总质量为m的“神舟六号”飞船的预定圆形轨道高度为h，当其实际运行高度比预定轨道高度低了△h时，控制中心开始启动轨道维持程序，开动小动量发动机，经时间△t后，飞船恰好重新进入预定轨道平稳飞行．地球半径为R，地球表面重力加速度为g．
（1）求“神舟六号”轨道离地面高度h的表达式（用题中所给的数据表示）；
（2）已知质量为m的物体在地球附近的万有引力势能Ep=-

R2mg

r

（以无穷远处引力势能为零，r表示物体到地心的距离），忽略在轨道维持过程中空气阻力对飞船的影响，求在轨道维持过程中，小动量发动机的平均功率P的表达式（轨道离地面高度为h不用代入（1）问中求得的结果）．

Answer 1

分析：（1）飞船绕地球做圆周运动时，由地球的万有引力提供向心力，物体在地球表面时，地球的万有引力等于物体的重力，分别对飞船在轨道上运动和物体在地球表面的情况，根据万有引力定律和向心力公式列式即可求出h．
（2）由万有引力提供向心力，求出飞船在h高度和h-△h高度时运行速度，根据能量守恒定律求发动机的平均功率P．

解答：解：（1）飞船绕地球做圆周运动时，由万有引力提供向心力，则得

GMm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

  ①
而 T=

t

n

 ②
在地球表面上，有 mg=G

Mm

R2

  ③
由①②③得h=

3	gR2t2 4n2π2

-R
（2）由万有引力提供向心力，得
 

GMm

(R+h)2

=m

v12

R+h

 

GMm

(R+h-△h)2

=m

v22

R+h-△h

由能量守恒知  P△t=(

1

2

mv12-

R2mg

R+h

)-(

1

2

mv22-

R2mg

R+h-△h

)
∴P=

1

2△t

(

R2mg

R+h-△h

-

R2mg

R+h

)
答：
（1）“神舟六号”轨道离地面高度h的表达式为h=

3	gR2t2 4n2π2

-R．
（2）在轨道维持过程中，小动量发动机的平均功率P的表达式为P=

1

2△t

(

R2mg

R+h-△h

-

R2mg

R+h

)．

点评：本题是卫星类型，建立清晰的运动图景，根据万有引力等于向心力，也等于重力进行求解．属于常规问题．