Question

（2007?湖南模拟）宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球（可视为质点）如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量I时，刚好能使小球在竖直面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R，万有引力常量为G．
（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
（2）轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？

Answer 1

分析：（1）结合动量定理、机械能守恒定律和牛顿第二定律求出月球表面的重力加速度，根据万有引力提供向心力求出最小的发射速度．
（2）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出环月卫星的周期．

解答：解：设月球表面重力加速度为g，月球质量为M
根据动量定理有：I=mv₀，
在最高点有：mg=m

v2

r

根据机械能守恒定律得，

1

2

mv02=mg?2r+

1

2

mv2
联立三式得g=

I2

5m2r

∵在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度
∴vmin=

GM R

=

gR

=

I

5mr

5Rr

有

GMm

(2R)2

=m(

2π

T

)2?2R
∴T=2π

(2R)3 GM

GM=gR²
代入得T=2π

(2R)3 gR2

=

4πm

I

10Rr

．
答：（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为

I

5mr

5Rr

．
（2）轨道半径为2R的环月卫星周期为

4πm

I

10Rr

．

点评：本题综合考查了动量定理、机械能守恒定律和牛顿第二定律、以及万有引力提供向心力、万有引力等于重力这两个理论，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．