Question

19．如图甲所示，空间存在B=0.5T，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨，间距L=0.2m，R是连接在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量为m=0.1kg的导体棒．从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好．图乙是棒的v-t图象，其中OA段是直线，AC是曲线，DE是曲线图象的渐进线，小型电动机在12s末达到额定功率P=4.5W，此后保持功率不变，t=17s时，导体棒ab达最大速度．除R外，其余部分电阻均不计，g=10m/s²．

（1）求导体棒ab在0-12s内的加速度大小a；
（2）求导体棒ab与导轨间的动摩擦因数μ及电阻R的值；
（3）若从0-17s内共发生位移100m，试求12s-17s内，R上产生的热量Q是多少．

Answer 1

分析 （1）图象中0-12s内物体做匀变速直线运动，则由该段图象中的斜率可求得加速度；
（2）由导体切割磁感线时的感应电动势表达式可求得电动势大小，由欧姆定律可求得感应电流，则可求和安培力；由牛顿第二定律可得出加速度表达式；同理可求得17s时的加速度表达式，联立即可求得动摩擦因数μ素及电阻R的值；
（3）由位移公式可求得12s内的位移，由功能关系可求得R上产生的热量．

解答 解：（1）导体棒ab在0-12s内做匀加速直线运动，由v-t图象的斜率得 $a=\frac{△v}{△t}=\frac{9}{12}$m/s²=0.75m/s²．
（2）t₁=12s时，由v-t图象得速度为 v₁=9m/s
感应电动势为 E=BLv，感应电流为 $I=\frac{E}{R}$，导体棒受到的安培力 F_安=BIL
因为P=F₁v₁，由牛顿第二定律得  F₁-F_安-μmg=ma
即 $\frac{P}{v_1}-\frac{{{B^2}{L^2}{v_1}}}{R}-μmg=ma$
由图象知17s末导体棒ab的最大速度为v₂=10m/s，此时加速度为零，P=F₂v₂
同理有 $\frac{P}{v_2}-\frac{{{B^2}{L^2}{v_2}}}{R}-μmg=0$
联立解得 μ=0.2，R=0.4Ω
（3）由v-t图象知0-12s内，导体棒匀加速运动的位移 ${x_1}=\frac{v_1}{2}{t_1}$=$\frac{9}{2}×12$m=54m
12-17s内，导体棒的位移 x₂=100-54=46m
由能量守恒得 $P{t_2}-Q-μmg{x_2}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
代入数据得 4.5×5-Q-0.2×0.1×10×46=$\frac{1}{2}$×0.1×（10²-9²）
解得R上产生的热量    Q=12.35 J 
答：
（1）导体棒ab在0-12s内的加速度大小a为0.75m/s²；
（2）导体棒ab与导轨间的动摩擦因数μ为0.2，电阻R的值为0.4Ω；
（3）若从0-17s内共发生位移100m，12s-17s内，R上产生的热量Q是12.35 J．

点评 本题考查电磁感应中的能量关系，在解题中要注意分析过程，通过受力分析找出力和运动的关系；再分析各力的做功情况，可利用能量守恒或功能关系求解．