Question

如图（a）所示，在坐标xOy平面的第一象限内，有一个匀强磁场，磁感强度大小恒为B₀，方向垂直于xOy平面，且随时间作周期性变化，如图（b）所示．规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正，一个质量为m，电量为q的正粒子，在t=0时刻从坐标原点以初速度v₀沿x轴正方向射入，在匀强磁场中运动，经过一个磁场变化周期T（未确定）的时间，粒子到达第一象限内的某一点P，且速度方向沿x轴正方向（不考虑重力作用）
（1）若点O、P连线与x轴之间的夹角为45°，则磁场变化的周期T为多大？
（2）因点P的位置随着磁场周期的变化而变化，试求点P纵坐标的最大值为多少？此时磁场变化的周期又为多大？

Answer 1

分析：（1）粒子一个磁场变化周期到P点的话，其运动时间应为四分之一周期，但是要考虑顺时针和逆时针两种情况
（2）磁场变化周期越大，圆弧越长，点P的纵坐标的值越大，但在磁场变化的一个周期T'内，每个圆弧不能超过半个圆，因此圆弧最长时应是第二个圆弧与y轴相切，这样就可保证粒子不会出第一象限，求出粒子半径，可以计算P的纵坐标最大值．而磁场的变化周期T'应等于带电粒子由O点运动至P点的时间．

解答：解：（1）粒子仅受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动．当磁场方向改变时，粒子的绕行方向也随之改变．要使粒子随时间T到达点P，且∠POX=45°，则粒子应正好经历

T0

4

的逆时针绕行和

T0

4

的顺时针绕行（T₀为粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期）．轨迹如图（a）所示．故磁场变化的周期为T=

T0

2

=

πm

qB

（2）磁场变化周期越大，圆弧越长，点P的纵坐标的值越大，但在磁场变化的一个周期T'内，每个圆弧不能超过半个圆，因此圆弧最长时应是第二个圆弧与y轴相切（因圆弧再长就将从y轴射向第二象限穿出磁场）．如图（b）所示．
设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则

.

OO1

=

.

O2P

=R，

.

OO2

=2R，

.

O1A

=

(2R)2-R2

=

3

R
所以点P的纵坐标为y=2R+

3

R=（2+

3

）

mv

qB

此时磁场的变化周期T'应等于带电粒子由O点运动至P点的时间
即 T'=

2π-2θ

ψ

又sinθ=

R

2R

=

1

2

，θ=

π

6

．ψ=

v

R

    R=

mv

qB

解得：T'=

5πm

3qB

（1）磁场变化的周期T为

πm

qB

（2）点P纵坐标的最大值为

3R

   此时磁场变化的周期为

5πm

3qB

点评：本题考查带电粒子在磁场中的运动，是一道力学、电学综合题．对考生的空间想象能力及逻辑推理能力有较高的要求．求解的关键是正确想象出带电粒子的运动情景．